Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số để tìm b, c từ đó tìm khẳng định đúng.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = {x^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(A\left( {0;2} \right)\,\,,\,\,B\left( {1;5} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\1 + b + c = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi x thuộc tập xác định

 \( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1

Chọn A.