Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right)\) là parabol có trục đối xứng là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}.\)

+) \(a > 0\) đồ thị hàm số là parabol hướng lên trên.

+) \(a < 0\) đồ thị hàm số là parabol hướng xuống dưới.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị có dạng parabol hướng xuống dưới nên \(a < 0.\)

Ta thấy đồ thị hàm số có trục đối xứng là \(x = \frac{3}{4} \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{4} \Rightarrow b > 0.\) 

\( \Rightarrow \) Hàm số đó là \(y =  - 2{x^2} + 3x + 1.\)

Chọn C.