Phương pháp giải:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} - x - 1\) và trục hoành là:

\({x^3} + {x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy số giao điểm phân biệt của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} - x - 1\) và trục hoành là 2.

Chọn: A