Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác : Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó,

\(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Lời giải chi tiết:

*) Tính thể tích khối chóp S.AMB theo thể tích khối chóp S.ABCD:

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.\,AMB}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow {V_{S.\,AMB}} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\) (1)

*) Tính thể tích khối chóp S.AMN theo thể tích khối chóp S.ABCD:

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.\,AMN}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{S.\,AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ADC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}.{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra: \({V_{SABMN}} = {V_{S.AMB}} + {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{5}{{12}}{V_{S.ABCD}}\)

Mà \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a.a = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \dfrac{5}{{12}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\).

Chọn: B