Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển \({\left( {1 + 1} \right)^n}\) và \({\left( {1 - 1} \right)^n}\) .

Lời giải chi tiết:

Xét tổng :

\(\begin{array}{l}{2^n} = {\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\\0 = {\left( {1 - 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}}  = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\\ \Rightarrow {2^n} + 0 = 2\left( {C_n^0 + C_n^2 + ... + C_n^n} \right)\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + ... + C_n^n = \frac{{{2^n}}}{2} = {2^{n - 1}} = 2048 = {2^{11}}\\ \Leftrightarrow n - 1 = 11 \Leftrightarrow n = 12\end{array}\)

Chọn D.