Phương pháp giải:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu, từ đó tính toán độ dài của khối chóp và khoảng cách cần tìm.         

Lời giải chi tiết:

Đặt \(a\)(cm) là độ dài các cạnh của hình vuông ABCD và tam giác đều SAB.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác SAB, N là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều \( \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SN \bot NO\)

Dựng hình chữ nhật \(NOIG\), khi đó:

\(IO//GN \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC = ID\)

Mặt khác \(IG//NO\) mà \(NO \bot \left( {SAB} \right),\,\,\left( {do\,\,NO \bot AB,\,\,NO \bot SN} \right)\) 

\(GI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IS = IA = IB\) (do G là trọng tâm và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều SAB)

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, mặt cầu này có bán kính: \(R = IA = \sqrt {I{G^2} + A{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}}  = \sqrt {\frac{7}{{12}}} .a\)

Diện tích mặt cầu: \(4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{7}{{12}}{a^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2} = 84\pi \,\, \Rightarrow {a^2} = 36 \Leftrightarrow a = 6\,\,(cm)\)

*) Gọi M là trung điểm của SC.

Tính \({V_{S.ABCD}}\), từ đó suy ra thể tích khối chóp S.BMD:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SN.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{6^3}\sqrt 3 }}{6} = 36\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

\(\frac{{{V_{S.BMD}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.BMD}} = \frac{1}{2}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}.36\sqrt 3  = 9\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)

*) Tính diện tích tam giác BMD:

Ta có: \(MO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\), \(OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông cân tại B.

Có \(SB = BC = a \Rightarrow BM = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \Delta BOM\)cân tại B

Gọi H là trung điểm của OM \( \Rightarrow BH = \sqrt {B{O^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}a\)

\({S_{BOM}} = \frac{1}{2}.BH.OM = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{16}} \Rightarrow {S_{BDM}} = 2{S_{\Delta BOM}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{16}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8} = \frac{{{6^2}\sqrt 7 }}{8} = \frac{{9\sqrt 7 }}{2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

*) Ta có: \(MO//SA \Rightarrow SA//\left( {BMD} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {SA;\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BMD} \right)} \right)\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {BMD} \right) = O\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A;\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right)\)

 Ta có: \({V_{M.CBD}} = \frac{1}{3}.d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right).{S_{BMD}} \Rightarrow \frac{1}{3}.d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right).\frac{{9\sqrt 7 }}{2} = 9\sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right) = \frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\,\,cm\).

Chọn: D