Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí Pytago tính AM và BN.

+) Do MN không đổi, nên để tiết kiệm chi phí đi từ A đến B (tức là, độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn nhất) thì \(AM + NB\) phải nhỏ nhất.

+) Áp dụng BĐT \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{x}{y}\).

Lời giải chi tiết:

Dựng AH, BK như hình vẽ.

Gọi độ dài đoạn HM là x (km, 0 < x < 12)

Khi đó, NK = 12 – x

Khi đó ta có: \(AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{2^2} + {x^2}} \); \(NB = \sqrt {N{K^2} + B{K^2}}  = \sqrt {{5^2} + {{\left( {12 - x} \right)}^2}} \).

Do MN không đổi, nên để tiết kiệm chi phí đi từ A đến B (tức là, độ dài đường gấp khúc AMNB ngắn nhất) thì \(AM + NB\) phải nhỏ nhất

Ta có:  \(AM + NB = \sqrt {{2^2} + {x^2}}  + \sqrt {{5^2} + {{\left( {12 - x} \right)}^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {2 + 5} \right)}^2} + {{\left( {x + 12 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {49 + 144}  = \sqrt {193} \)

Khi đó, \({\left( {AM + NB} \right)_{\min }} = \sqrt {193} \) khi và chỉ khi \(\frac{x}{2} = \frac{{12 - x}}{5} = \frac{{x + 12 - x}}{{2 + 5}} = \frac{{12}}{7} \Rightarrow x = \frac{{24}}{7}\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{{24}}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt {193} }}{7}\;\left( {{\rm{km}}} \right){\rm{.}}\)

Chọn: A