Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1\,\, \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + 2\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\,\,y = x\) có hệ số góc \(k =  - 1\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm \( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 2 =  - 1 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 3\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = \dfrac{4}{3}\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1.\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}\,\, \Leftrightarrow y =  - x + \dfrac{7}{3}\,\,\left( {{d_1}} \right)\)

+) \({x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} =  - 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1.\left( {x - 3} \right) + \left( { - 2} \right)\,\, \Leftrightarrow y =  - x + 1\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

Ta có: \({d_1}//{d_2},\,A\left( {1;0} \right) \in {d_2}\,\, \Rightarrow d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = d\left( {A;{d_1}} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 0 + \dfrac{7}{3}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow h = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn: D