Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng\(y = 2017\).

Đếm số nghiệm của phương trình, từ đó kết luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số trên (số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số). 

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} + 2x + 2017 = 2017 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Do đó, giữa đường thẳng và \(\left( C \right)\) có ba điểm chung.

Chọn: A