Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(BC = a\sqrt 2 \), SC là đường cao, SC = a. Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF.
- A \(V = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\).
- B \(V = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\).
- C \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\).
- D \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\).
Phương pháp giải:
\(\dfrac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \dfrac{{SE}}{{SA}}.\dfrac{{SF}}{{SB}}\)
Lời giải chi tiết:
+) Tính thể tích khối chóp S.ABC:
Tam giác ABC vuông cân tại A, \(BC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = AC = a\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABC}}.SC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{a^2}.a = \dfrac{1}{6}{a^3}\)
+) Chứng minh \(CF \bot SB,\,\,CE \bot SA\):
Ta có: \(\left( {CEF} \right) \bot SB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CF \bot SB\\CE \bot SB\end{array} \right.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow AB \bot CE\), mà \(SB \bot CE\)\( \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CE \bot SA\)
+) Lập tỉ số thể tích của khối chóp S.CEF và S.ABC:
Tam giác SBC vuông tại C, CF là đường cao \( \Rightarrow S{C^2} = SF.SB \Rightarrow \dfrac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{SF}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SB}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = \dfrac{1}{3}\)
Tam giác SAC vuông tại C, CE là đường cao \( \Rightarrow S{C^2} = SE.SA \Rightarrow \dfrac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \dfrac{{SE}}{{SA}} \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SA}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.CEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SF}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SA}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.CEF}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6}{a^3} = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\).
Chọn: B