Phương pháp giải:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AC. \(\Delta \)ABC đều, AB = a \( \Rightarrow BI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(BI \bot AC\)

Mà \(BI \bot AA'\,\,\left( {do\,\,AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow BI \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {A'B;\left( {ACC'A'} \right)}} \right) = \left( {\widehat {A'B;A'I}} \right) = \widehat {IA'B} = 45^\circ \)

\(\Delta \)IA’B vuông tại I, \(\widehat {IA'B} = 45^\circ  \Rightarrow \Delta IA'B\) vuông cân tại I

\( \Rightarrow A'B = \sqrt 2 .IB = \sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(\Delta \)ABA’ vuông tại A \( \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} - {a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Thể tích khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là: \(V = {S_{ABC}}.AA' = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\).

Chọn: A