Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức ba điểm.

b) G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \). Chứng minh \(GM = k\overrightarrow {GN} \,\,\left( {k \ne 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(a)\,\,VT = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BC}  = VP\)

b) \(\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  - \overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  = 2\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GA} \)

\(\overrightarrow {AN}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {GN}  - \overrightarrow {GA}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {GC}  - \dfrac{2}{5}\overrightarrow {GA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GN}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {GC}  + \dfrac{3}{5}\overrightarrow {GA} \) \( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {GN}  = 2\overrightarrow {GC}  + 3\overrightarrow {GA} \)

\(\overrightarrow {GM}  + 5\overrightarrow {GN}  = \)\(2\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GA} \)+\(2\overrightarrow {GC}  + 3\overrightarrow {GA} \) =\(2\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB} \)+\(2\overrightarrow {GC} \)=\(\overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  =  - 5\overrightarrow {GN} \).  Vậy G, M, N thẳng hàng.