Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa mặt bên và đáy.

+) Tính chiều cao h, bán kính đáy R và đường sinh l của hình nón.

+) Sử dụng công thức \({S_{xq}} = \pi Rl\).

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC ta có: \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMG} = {60^0}\).

Ta có:

\(MG = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow SG = MG.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3  = \frac{a}{2} = h\)

\(CG = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = R \Rightarrow l = \sqrt {{h^2} + {R^2}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Vậy \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt {21} }}{6} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}\).

Chọn B.