Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là D.

+) Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

+) Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Ta có:  \(y\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right)\left( {1 + \cos \left( { - x} \right)} \right) = {\left( { - \sin \,x} \right)^2}\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\left( {1 + \cos x} \right) = y\left( x \right),\,\,\forall x \in D\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Chọn: A