Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức : \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) (hay chính là điều kiện có nghiệm của phương trình: \(a\sin x + b\cos x = c\) là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\))

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( { - 4{\rm{sin}}x + 3c{\rm{osx }}} \right)^2} \le \left( {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( { - 4{\rm{sin}}x + 3c{\rm{osx }}} \right)^2} \le 25\\ \Leftrightarrow  - 5 \le  - 4{\rm{sin}}x + 3c{\rm{osx}} \le 5\end{array}\)

Vậy thì: \( - 4 \le y \le 6\) hay \(A = 6;\,B =  - 4 \Rightarrow {A^2} + {B^2} = {6^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 52\).

Dấu bằng xảy ra:

Giá trị lớn nhất: \(\frac{{\sin x}}{{ - 4}} = \frac{{\cos x}}{3} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x =  - \frac{3}{4}\\\sin x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \arctan \frac{3}{4} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Giá trị nhỏ nhất: \(\frac{{\sin x}}{{ - 4}} = \frac{{\cos x}}{3} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x =  - \frac{3}{4}\\\sin x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi  - \arctan \frac{3}{4} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Chọn B.