Câu hỏi
Tính bán kính \(R\) mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\sqrt 2 \).
- A \(R = a\sqrt 3 \).
- B \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
- C \(R = \frac{{3a}}{2}\).
- D \(R = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\), ta có \(AG \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(AG\) là trục của \(\Delta BCD\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Qua \(M\) dựng đường thẳng \(\Delta \bot AB\), gọi \(\left\{ I \right\} = \Delta \cap AG\).
Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có tâm là \(I\) và bán kính \(R = IA\).
Ta có \(\Delta AMI\) và \(\Delta AGB\) là hai tam giác vuông đồng dạng nên: \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AG}} \Rightarrow AI = AB.\frac{{AM}}{{AG}}\).
Do \(AB = a\sqrt 2 ,\;AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(AG = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Khi đó \(R = AI = a\sqrt 2 .\frac{{a\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
