Phương pháp giải:

+) Xác định trục d của mặt phẳng (ABCD).

+) Xác định đường trung trực d’ của SA sao cho d và d’ đồng phẳng.

+) Gọi \(I = d \cap d' \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), từ \(O\) dựng đường thẳng song song với \(SA\) và cắt \(SC\) tại trung điểm \(I\) của \(SC\), suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.BCD\).

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}OI = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\\OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: \(R = IC = \sqrt {O{C^2} + O{I^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy thể tích khối cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{5\pi {a^3}\sqrt 5 }}{6}.\)

Chọn A.