Phương pháp giải:

+) Xác định điểm N.

+) Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot SB\) \( \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = a\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\).

Kẻ \(MN{\rm{//}}CD \Rightarrow \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{3}{4}\).

Ta có: \({V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)

\(\frac{{{V_{S.AMNB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.ABM}} + {V_{S.BMN}}}}{{2{V_{S.ABD}}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABD}}}} + \frac{{{V_{S.BMN}}}}{{{V_{S.BCD}}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{SM}}{{SD}} + \frac{{SM}}{{SD}}.\frac{{SN}}{{SC}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{4} + \frac{3}{4}.\frac{3}{4}} \right) = \frac{{21}}{{32}}\).

\( \Rightarrow \frac{{{V_{MNABCD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.ABCD}} - {V_{S.AMNB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = 1 - \frac{{{V_{S.AMNB}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = 1 - \frac{{21}}{{32}} = \frac{{11}}{{32}}\).

Vậy \({V_{MNABCD}} = \frac{{11}}{{32}}{V_{S.ABCD}} = \frac{{11}}{{32}}.\frac{{{a^3}}}{3} = \frac{{11{a^3}}}{{96}}\).

Chọn D.