Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay :\({S_{xq}} = 2\pi Rl = 2\pi Rh\)

+) Diện tích toàn phần hình trụ tròn xoay: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{2\,\,day}} = 2\pi Rl + 2\pi {R^2} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\)

+) Thể tích khối trụ: \(V = Sh = \pi {R^2}h\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích toàn phần hình trụ tròn xoay đó là: \(S = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\) \( \Rightarrow h = \frac{S}{{2\pi r}} - r\)

Thể tích của khối trụ đó là: \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {\frac{S}{{2\pi r}} - r} \right) = \frac{{Sr}}{2} - \pi {r^3}\)

Xét hàm số \(f\left( r \right) = \frac{{Sr}}{2} - \pi {r^3},\,\,r > 0\) có:  \(f'\left( r \right) = \frac{S}{2} - 3\pi {r^2} = 0 \Rightarrow r = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \)

Bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ lớn nhất khi \(r = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}}  \Leftrightarrow 6\pi {r^2} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} \Leftrightarrow 2r = h\).

Chọn: C