Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = 3\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = c\), do đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên \(c = 2\)

\(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2ax + b\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 + 2a + b = 0 \Leftrightarrow 2a + b =  - 3\) (1)

Hàm số có giá trị cực tiểu bằng \( - 3 \Rightarrow y\left( 1 \right) =  - 3 \Leftrightarrow 1 + a + b + 2 =  - 3 \Leftrightarrow a + b =  - 6\) (2)

Từ (1), (2) suy ra  \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 9\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = {2^3} + {3.2^2} - 9.2 + 2 = 4\).

Chọn: D