Câu hỏi
Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên là một số thực dương không đổi. Gọi \(\alpha \)là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp với mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính \(\sin \alpha \).
- A \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
- B \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
- C \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- D \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \({V_{chop}} = \frac{1}{3}{S_{day}}.h\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử
\(\begin{array}{l}SD = a \Rightarrow SO = SD.\sin \alpha = a\sin \alpha \Rightarrow OD = SD\cos \alpha = a\sin \alpha \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4.\frac{1}{2}.O{D^2} = 2O{D^2} = 2{\left( {a\cos \alpha } \right)^2} = 2{a^2}{\cos ^2}\alpha \end{array}\)
Thể tích kim tự tháp là:
\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\sin \alpha .2{a^2}{\cos ^2}\alpha = \frac{2}{3}{a^3}\sin \alpha {\cos ^2}\alpha \\\,\,\,\,\, = \frac{2}{3}{a^3}\sin \alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = \frac{2}{3}{a^3}\left( {\sin \alpha - {{\sin }^3}\alpha } \right)\end{array}\)
Chọn đáp án D.
Câu hỏi trước
