Phương pháp giải:

Sử dụng công thức Simpson về tỉ lệ thể tích.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2O{D^2} = {a^2} \Rightarrow OD = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow SO = OD.\tan {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Gọi H là hình chiếu của N lên (ABCD) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của OC.

Ta có: \(NH = \frac{{SO}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4};\,\,{S_{MBC}} = {S_{ABCD}} = {a^2}\)

\({V_{NBCM}} = \frac{1}{3}NH.{S_{MBC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{4}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

Ta có: \(\frac{{MD}}{{DC}}.\frac{{CS}}{{CN}}.\frac{{NP}}{{PM}} = 1 \Leftrightarrow 1.2.\frac{{NP}}{{PM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{NP}}{{PM}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{PM}}{{MN}} = \frac{2}{3}\)

Ta có: \(\frac{{{V_{MDPQ}}}}{{{V_{MBCN}}}} = \frac{{PM}}{{MN}}.\frac{{MD}}{{MC}}.\frac{{MQ}}{{MB}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \Rightarrow {V_{NPQDCA}} = \frac{5}{6}{V_{S.BCM}} = \frac{5}{6}.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{5{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\)

Chọn đáp án C.