Phương pháp giải:

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

+) Cô lập m, đưa vbaats phương trình về dạng \(f\left( m \right) \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow f\left( m \right) \le \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4x + 2{m^2} - 1 \Rightarrow y' \ge 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 4{x^3} - 4x - 1 \ge  - 2{m^2};\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Rightarrow  - 2{m^2} \le \mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\end{array}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 12{x^2} - 4 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Có bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta có: \(f\left( x \right) >  - 1\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow  - 2{m^2} \le  - 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\m \le  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Chọn đáp án D.