Câu hỏi
Cho hàm số \(y = \sin x + \cos x + 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A
Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in Z\)
- B
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in Z\).
- C
Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in Z\).
- D Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in Z\).
Phương pháp giải:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\,\,\left( {f''\left( {{x_0}} \right) > 0} \right)\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\).
\(\begin{array}{l}y' = \cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\y'' = - \sin x - \cos x\\y''\left( {\frac{\pi }{4} + k2\pi } \right) < 0;\,\,y''\left( {x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi } \right) > 0\end{array}\)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Chọn đáp án C.
Câu hỏi trước
