Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng hệ thức Vi-et tính độ dài AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ne 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\, = x + m \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} + mx - x - m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 1} \right) = {m^2} - 2m + 5 > 0\) (luôn đúng)

Giả sử \({x_A};{x_B}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*) ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_B}} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{x_A} + m - {x_B} - m} \right)^2}\\A{B^2} = 2{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2}\\A{B^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right]\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} =  - m + 3\\{x_A}{x_B} =  - m + 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = 2\left[ {{{\left( { - m + 3} \right)}^2} - 4\left( { - m + 1} \right)} \right] = 16\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + 4m - 4 = 8\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\end{array} \right.\end{array}\) 

Chọn đáp án C.