Phương pháp giải:

+) Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

+) \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\)

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SH.

+) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB ta có \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \(AH//CD \Rightarrow AH//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi I là trung điểm của CD \( \Rightarrow HI \bot CD\) và \(HI = AD = a\sqrt 3 \).

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HI\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right)\)

Trong (SHI) kẻ \(HK \bot SI\)  (1) \( \Rightarrow HK \bot CD\,\,\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK = a\sqrt 2 \).

Ta có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow SH = a\sqrt 6 \)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 6 .a.a\sqrt 3  = {a^3}\sqrt 2 \).

Chọn đáp án A.