Phương pháp giải:

+) Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow SI \bot \left( {MNP} \right)\)

+) Tính diện tích tam giác MNP.

+) \({V_{S.MNP}} = \frac{1}{3}SI.{S_{MNP}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\Delta SMN\)vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)và \(SI = \frac{{SM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

\(MN = 2SI = 2.a\sqrt {\frac{3}{2}}  = a\sqrt 6 \)

\(\Delta MNP\,\,deu \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{{M{N^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)

Thể tích khối chóp \(S.MNP\) là:  \(V = \frac{1}{3}.{S_{MNP}}.SI = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}.\frac{{\sqrt 3 a}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\).

Chọn: B