Phương pháp giải:

Đặt \(\sin 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khảo sát, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số với ẩn là t.

Lời giải chi tiết:

\(y = \sin 2x - {\cos ^2}2x + 1 = {\sin ^2}2x + \sin 2x\)

Đặt \(\sin 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), ta có:  \(y = {t^2} + t = f\left( t \right)\),  \(y' = 2t + 1\),   \(y' = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2}\)

Ta có:  \(f\left( { - 1} \right) = 0,\,\,\,f\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{1}{4},\,\,f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y =  - \frac{1}{4},\,\,\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 2\) hay \(M = 2;\,m =  - \frac{1}{4}\).

Chọn: C