Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tìm GTNN, GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) \(y = {x^3} - 10 \Rightarrow y' = 3{x^2} \ge 0,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {{x^3} - 10} \right) = {0^3} - 10 =  - 10\)

+)  \(y = \sqrt {x + 2}  - 2 \Rightarrow y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {\sqrt {x + 2}  - 2} \right) = \sqrt {0 + 2}  - 2 = \sqrt 2  - 2\)

+) \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{0 - 2}}{{0 + 1}} =  - 2\)

+) \(y = {2^x} - 2 \Rightarrow y' = {2^x}.\ln 2 > 0,\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left( {{2^x} - 2} \right) = {2^0} - 2 = 1 - 2 =  - 1\)

Chọn: C