Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức đạo hàm \({{\left[ f\left( u \right) \right]}^{\prime }}={u}'.{f}'\left( u \right)\) để tính đạo hàm hàm số \(h\left( x \right)\).

+ Từ yêu cầu đề bài ta cần tìm x để \(h'\left( x \right) \ge 0\)

+ Dựa vào đồ thị hàm số để suy ra khoảng đồng biến cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(h\left( x \right)=f\left( x+7 \right)-g\left( 2x+\frac{9}{2} \right)\) \( \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( {x + 7} \right) - 2g'\left( {2x + \frac{9}{2}} \right)\)

Từ đề bài ta có \({h}'\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow {f}'\left( x+7 \right)\ge 2{g}'\left( 2x+\frac{9}{2} \right)\)

Đặt \({t_1} = x + 7;\,{t_2} = 2x + \frac{9}{2}\) ta có \(f'\left( {{t_1}} \right) \ge 2g'\left( {{t_2}} \right)\)

Từ đồ thị hàm số suy ra \(\left\{ \begin{align}& 3\le {{t}_{1}}\le 10 \\& 3\le {{t}_{2}}\le 10 \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le x + 7 \le 10\\3 \le 2x + \frac{9}{2} \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x \le 3\\\frac{{ - 3}}{4} \le x \le \frac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{4} \le x \le \frac{{11}}{4}\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{{ - 3}}{4};0} \right).\)

Chọn B.