Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 5m} \right\}\)

\(y = \frac{{x + 6}}{{x + 5m}} \Rightarrow y' = \frac{{5m - 6}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}\)

\(y' < 0 \Rightarrow m < \frac{6}{5}\) .

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {10; + \infty } \right)\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\ - 5m \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{6}{5}\\m \ge  - 2\end{array} \right.,m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn C.