Lời giải chi tiết:

+) Ta có: phương trình đường thẳng AB có dạng: \(4x - 3y - 65 = 0\) .

Phương trình đường thẳng AC có dạng: \(3x + 4y - 5 = 0\)

Phương trình đường thẳng BC có dạng: \(7x - 24y + 55 = 0\)

+) Phương trình đường phân giác trong của góc B là: \(9x - 13y - 90 = 0\,\,\left( {{d_1}} \right)\)

+) Phương trình đường phân giác trong của góc A là: \(7x + y - 70 = 0\left( {{d_2}} \right)\)

+) Tọa độ tâm I là giao điểm của 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right);\left( {{d_2}} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}9x - 13y - 90 = 0\\7x + y - 70 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 0\end{array} \right.\)

+) \(R = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| {40 - 65} \right|}}{5} = 5\)

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là: \({\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = 25.\)

Chọn C.