Lời giải chi tiết:

+) Ta có tâm và bán kính của 2 đường tròn lần lượt là: \({I_1}\left( {2; - 4} \right);{R_1} = 5;\,\,{I_2}\left( { - 1;3} \right);{R_2} = 5;\)

\({I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}}  = \sqrt {58} \).

Do đó: \({R_1} - {R_2} < {I_1}{I_2} < {R_1} + {R_2}\). Nên 2 đường tròn cắt nhau suy ra có 2 tiếp tuyến chung.

+) Giả sử tiếp tuyến chung của 2 đường tròn có phương trình: \(Ax + By + C = 0\,\,\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};d} \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};d} \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2A - 4B + C} \right| = 5\sqrt {{A^2} + {B^2}} \left( 1 \right)\\\left| { - A + 3B + C} \right| = 5\sqrt {{A^2} + {B^2}} \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) Chọn A = 1. Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{\left| {2 - 4B + C} \right|}}{{\left| { - 1 + 3B + C} \right|}} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 4B + C =  - 1 + 3B + C\\2 - 4B + C = 1 - 3B - C\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}B = \frac{3}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\B = 1 + 2C\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Thay (3) vào (1) ta được: 

\(\left| {2 - \frac{{12}}{7} + C} \right| = 5\sqrt {1 + \frac{9}{{49}}} \Leftrightarrow \left| {\frac{2}{7} + C} \right| = 5\frac{{\sqrt {58} }}{7} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
C = \frac{{5\sqrt {58} - 2}}{7}\\
C = \frac{{ - 5\sqrt {58} - 2}}{7}
\end{array} \right.\)

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}x + \frac{3}{7}y + \frac{{5\sqrt {58}  - 2}}{7} = 0\\x + \frac{3}{7}y + \frac{{ - 5\sqrt {58}  - 2}}{7} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 3y + 5\sqrt {58}  - 2 = 0\\7x + 3y - 5\sqrt {58}  - 2 = 0\end{array} \right.\)

+) Thay (4) vào (1): phương trình vô nghiệm.

Chọn D.