Lời giải chi tiết:

+) Ta có: tâm và bán kính của 2 đường tròn lần lượt là:

\(\begin{array}{l}{I_1}\left( {2;1} \right);{R_1} = \sqrt {4 + 1 - 4}  = 1\\{I_2}\left( {1;3} \right);{R_1} = \sqrt {1 + 9 - 6}  = 2\end{array}\)

\({I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \). Do đó ta có: \({R_2} - {R_1} < {I_1}{I_2} < {R_1} + {R_2}\)

Nên \(\left( {{C_1}} \right);\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau.

+) Giả sử tiếp tuyến chung của  2 đường tròn là (d) có phương trình: \(Ax + By + C = 0;\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{I_1};d} \right) = {R_1}\\d\left( {{I_2};d} \right) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2A + B + C} \right| = 1\sqrt {{A^2} + {B^2}} \left( 1 \right)\\\left| {A + 3B + C} \right| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2}} \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

*) Xét A = 1. Lấy (1) chia (2) ta được: \(\frac{{\left| {2A + B + C} \right|}}{{\left| {A + 3B + C} \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}4 + 2B + 2C = 1 + 3B + C\\4 + 2B + 2C =  - 1 - 3B - C\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C = B - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\C = \frac{{ - 5 - 5B}}{3}\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

+) Thay (3) vào (1) ta được: \(\left| {2 + B + B - 3} \right| = \sqrt {1 + {B^2}}  \Leftrightarrow 4{B^2} - 4B + 1 = 1 + {B^2}\)

\( \Leftrightarrow 3{B^2} - 4B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
B = 1 \Rightarrow C = - 2\\
B = \frac{4}{3} \Rightarrow C = - \frac{5}{3}
\end{array} \right.\)

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau: \(\left[ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x + \frac{4}{3}y - \frac{5}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\3x + 4y - 5 = 0\end{array} \right.\)

+) Thay (4) vào (1) : phương trình vô nghiệm.

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.