Lời giải chi tiết:

+) Có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) bán kính \(R = 2\)

+) Giả sử \({\overrightarrow n _d}\left( {A;B} \right);\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right);{\overrightarrow n _\Delta }\left( {2;1} \right)\)

\(\cos \left( {d;\Delta } \right) = \cos {45^0} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( * \right)\) 

+) Xét A= 1 thì (*) trở thành: \(\sqrt 2 \left| {2 + B} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {1 + {B^2}}  \Leftrightarrow 2\left( {4 + 4B + {B^2}} \right) = 5 + 5{B^2} \Leftrightarrow 3{B^2} - 8B - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 3\\B =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

*) TH1:  A = 1 ; B = 3 ta có: \({\overrightarrow n _d}\left( {1;3} \right)\) phương trình đường thẳng (d) có dạng: \(x + 3y + C = 0\) . Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn nên ta có: \(d\left( {I;d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 6 + C} \right|}}{{\sqrt {1 + 9} }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 2\sqrt {10}  - 7\\C =  - 2\sqrt {10}  - 7\end{array} \right.\)

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau: \(\left[ \begin{array}{l}x + 3y + 2\sqrt {10}  - 7 = 0\\x + y - 2\sqrt {10}  - 7 = 0\end{array} \right.\)

*)TH2: A = 1 ; \(B =  - \frac{1}{3}\) ta có: \({\overrightarrow n _d}\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\,\,hay\,\,\,{\overrightarrow n _d}\left( {3; - 1} \right)\) phương trình đường thẳng (d) có dạng: \(3x - y + C' = 0\) . Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn nên ta có: \(d\left( {I;d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 - 2 + C} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 2\sqrt {10}  - 1\\C =  - 2\sqrt {10}  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau: \(\left[ \begin{array}{l}3x - y + 2\sqrt {10}  - 1 = 0\\3x - y - 2\sqrt {10}  - 1 = 0\end{array} \right.\)

Chọn D.