Lời giải chi tiết:

+) Giả sử \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right),\left( {a > 0,b > 0} \right)\) Phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B dạng:

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + ay - ab = 0\,\left( d \right)\)

+) \(OA = OB \Leftrightarrow \sqrt {{a^2}}  = \sqrt {{b^2}}  \Leftrightarrow a = b\,\,\left( 1 \right)\)

+) Tâm I và bán kính đường tròn (C) lần lượt là: \(I\left( {1;2} \right);R = 3\) . Do (d) là tiếp tuyến của (C) nên:

\(d\left( {I;d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {b + 2a - ab} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\,\,\left( 2 \right)\)

+) Giải hệ gồm (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\\frac{{\left| {b + 2a - ab} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\\frac{{\left| {3a - {a^2}} \right|}}{{\sqrt {2{a^2}} }} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\9{a^2} - 6{a^3} + {a^4} = 18{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 6{a^3} + {a^4} - 9{a^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 3 + 3\sqrt 2 \)

Vậy phương trình đường thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng: \(x + y - \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = 0\)

Chọn D.