Lời giải chi tiết:

+) Giả sử tâm I(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{C^2} = I{B^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 1 - 4b + 4 =  - 10a + 25 - 4b + 4\\ - 2a + 1 + 6b + 9 =  - 10a + 25 - 4b + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\end{array}\)

+) \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{2} - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{41}}{4}} \)

+) Vậy phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\)

Chọn A.