Lời giải chi tiết:

+) Giả sử điểm cố định là \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nên \(\left( {{C_m}} \right)\) đi qua M, với mọi m.

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 - 2m{x_0} - 2\left( {m + 1} \right){y_0} + 4m = 0,\forall m\\
\Leftrightarrow 2m\left( {2 - {x_0} - {y_0}} \right) + \left( {x_0^2 + y_0^2 - 2{y_0}} \right) = 0,\forall m\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - {x_0} - {y_0} = 0\\
x_0^2 + y_0^2 - 2{y_0} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_0} = 2 - {x_0}\\
x_0^2 + {\left( {2 - {x_0}} \right)^2} - 2\left( {2 - {x_0}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_0} = 2 - {x_0}\\
2x_0^2 - 2{x_0} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
{y_0} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
{y_0} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;2} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

+) Vậy có 2 điểm cố định là: \(M\left( {1;1} \right),M\left( {0;2} \right)\).

Chọn B.