Lời giải chi tiết:

+) Để \(\left( {{C_m}} \right)\) là đường tròn thì \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\)

+) Ta có: tâm \(I\left( {m;2m} \right)\); \(R = \sqrt {5{m^2} - 5} \)  Phương trình trục Ox: \(y = 0\) .

\(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với trục Ox

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow d\left( {I;Ox} \right) = R \Leftrightarrow \left| {2m} \right| = \sqrt {5{m^2} - 5} \\
\Leftrightarrow 4{m^2} = 5{m^2} - 5 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5
\end{array}\)

+) Kết hợp với điều kiện ta được: \(m =  \pm \sqrt 5 .\)

Chọn C.