Phương pháp giải:

Bán kính ngoại tiếp tứ diện vuông OABC có \(OA = a;\,\,OB = b;\,\,OC = c\) là \(R = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 3 \)

Đặt \(OA = a;\,\,OB = b;\,\,OC = c \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = 4\sqrt 3  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 192\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(192 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \Leftrightarrow abc \le 512\)

\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc \le \dfrac{{256}}{3}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 8\).

Chọn C.