Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và đi qua điểm\(A\left( {1;0; - 1} \right)\) . Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
- A \(\frac{{64}}{3}.\)
- B 32
- C 64
- D \(\frac{{32}}{3}.\)
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức thể tích tứ diện vuông tại \(A\) là \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\)
- Công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông tại \(A\) là \(R = IA = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(AI = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} = 4.A{I^2} = 4.3 \ge 3\sqrt[3]{{A{B^2}.A{C^2}.A{D^2}}} \Leftrightarrow AB.AC.AD \le 64\)
Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD \le \frac{1}{6}.64 = \frac{{32}}{3}\)
Dấu \( = \) xảy ra khi \(AB = AC = AD = 4\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
