Phương pháp giải:

Sử dụng công thức

\({{S}_{ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\frac{1}{2}r.\left( a+b+c \right)\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = a là :

\(y=\frac{3}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{a-2}{a+1}\)           ( d )

Đường thẳng d cắt các tiệm cận tại : \(A\left( -1;\frac{{{a}^{2}}-4a-5}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}} \right);B\left( 2a+1;1 \right)\)

Suy ra: \(\)  

\(\begin{align}  & AI=\left| \frac{6}{a+1} \right|;BI=|2a+2| \\ & =>AI.BI=12\forall a \\\end{align}\)

Áp dụng công thức ở phần phương pháp ta có :

\(r=\frac{AI.BI}{AI+BI+\sqrt{A{{I}^{2}}+B{{I}^{2}}}}\le \frac{12}{2\sqrt{AI.BI}+\sqrt{2AI.BI}}=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{2}}\)

Dấu bằng xảy ra khi AI=BI , suy ra tam giác ABI vuông cân , suy ra khoảng cách từ I tới d bằng \(\sqrt{6}\)

Chọn đáp án B