Lời giải chi tiết:

a) Tìm C.

ABCD là hình thang cân \( \Rightarrow IB = IC\)

\( \Rightarrow \Delta BIC\) vuông cân \( \Rightarrow \widehat {BCI} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta HBC\) vuông cân ở B.

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của HC.

Giả sử \(C\left( {a;b} \right) \Rightarrow I\left( {\frac{{a - 3}}{2};\frac{{b + 2}}{2}} \right)\)

\(I \in BD \Rightarrow \frac{{a - 3}}{2} + \frac{{2\left( {b + 2} \right)}}{2} - 6 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HC}  = \left( {a + 3;b - 2} \right)\\\overrightarrow {{u_{BD}}}  = \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {HC} .\overrightarrow {{u_{BD}}}  = 0 \Rightarrow  - 2a + b - 8 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;6} \right) \Rightarrow I\left( { - 2;4} \right)\)

b) Tìm D.

Giả sử \(D\left( {m;n} \right).\,\,D \in BD \Rightarrow m + 2n - 6 = 0\,\,\left( 3 \right)\)

\(\begin{array}{l}BC//AD \Rightarrow \frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow ID = 3IB\\ \Rightarrow ID = 3IC = 3\sqrt 5  \Rightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {n - 4} \right)^2} = 45\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 3 \right)\\\left( 4 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( {4;1} \right)\\D\left( { - 8;7} \right)\end{array} \right.\)