Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\).

Nếu \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \,\)hoặc \(\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \,\)thì \(x=a\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ:  \({{x}^{2}}-2mx+1\ne 0\)

\(y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-2mx+1}\)

+) \({{x}^{2}}-2mx+1\) có nghiệm \(x=3\Rightarrow {{3}^{2}}-2m.3+1=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{3}\)

Với \(m=\frac{5}{3}\Rightarrow y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-\frac{10}{3}x+1}=\frac{3\left( x-3 \right)}{\left( 3x-1 \right)\left( x-3 \right)}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,y=\frac{3}{8},\,\,\underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \)

Đồ thị hàm số có 1 TCĐ \(x=\frac{1}{3}\).

+) \({{x}^{2}}-2mx+1\) không có nghiệm \(x=3\Leftrightarrow m\ne \frac{5}{3}\)

Để đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng thì \({{x}^{2}}-2mx+1\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '={{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>1 \\ & m

Kết luận,  đồ thị hàm số \(y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-2mx+1}\) có 2 đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi \(m\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ \frac{5}{3} \right\}\).

Chọn: D