Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) là TCĐ của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \)  

Đường thẳng \(y=b\) là TCN của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\)  

Khi đó \(I\left( a;\ b \right)\) là giao điểm của hai đường TC.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\underset{x\to \pm }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2\Rightarrow y=2\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-1}=\infty \Rightarrow x=1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy giao điểm của hai đường TC là: \(I\left( 1;\ 2 \right)\)  

Chọn C.