Câu hỏi
Cho hình chóp \(SABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(SA= a\). Tam giác \(ABC\) vuông cân ở \(B\), \(AC=a\sqrt{2}\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Mặt phẳng (P) chứa \(AG\) và song song với \(BC\). Mặt phẳng \((P)\) cắt \(SB\),\(SC\) tại \(M, N\). Tính \({{V}_{SAMN}}\)
- A \(\frac{2{{a}^{3}}}{27}\)
- B \(\frac{{{a}^{3}}}{27}\)
- C \(\frac{2{{a}^{3}}}{15}\)
- D \(\frac{2{{a}^{3}}}{25}\)
Lời giải chi tiết:
+) Qua G vẽ MN song song với BC \(\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( AMN \right)\)
\(\begin{align} & +)\,\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{SG}{SP}=\frac{2}{3} \\ & +)\,\frac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9} \\& +)\,\Delta ABC:\,\,A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Leftrightarrow 2A{{B}^{2}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}\Rightarrow AB=BC=a \\& {{V}_{SABC}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.SA.\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{1}{6}{{a}^{3}} \\ & \Rightarrow {{V}_{SAMN}}=\frac{4}{9}.{{V}_{SABC}}=\frac{4}{9}.\frac{1}{6}.{{a}^{3}}=\frac{2{{a}^{3}}}{27} \\\end{align}\)
Chọn đáp án A
Câu hỏi trước
