Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \cos x>0\Leftrightarrow x\in \left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right) \\ & \cos x<0\Leftrightarrow x\in \left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \right) \\\end{align}\)

Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng  \(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right);\,\,\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\)

Ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x=\frac{\pi }{2};\,\,x=\frac{3\pi }{2}\)  

Ta có \(\left\{ \begin{align}  & \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sin x \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1=f\left( \frac{\pi }{2} \right) \\ & \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\cos x \right)=1+\cos \frac{\pi }{2}=1 \\\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x=\frac{\pi }{2}\)

Ta có \(\left\{ \begin{align}  & \underset{x\to {{\frac{3\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\frac{3\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sin x \right)=\sin \frac{3\pi }{2}=-1=f\left( \frac{3\pi }{2} \right) \\ & \underset{x\to {{\frac{3\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\frac{3\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\cos x \right)=1+\cos \frac{3\pi }{2}=1 \\\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x=\frac{3\pi }{2}\)

Vậy tất cả các điểm gián đoạn của hàm số là \(x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

\(x\in \left( 0;2018 \right)\Leftrightarrow 0<\frac{3\pi }{2}+k2\pi <2018\,\Leftrightarrow -\frac{3}{4}<k\le 320\,\,\left( k\in Z \right)\)  Vậy có 321 giá trị nguyên của k thỏa mãn, tức là hàm số đã cho có 321 điểm gián đoạn.

Chọn D.