Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({{G}_{1}};{{G}_{2}};{{G}_{3}}\) lần lượt là trực tâm các tam giác SAB, SAC và SAD.

Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, AC và AD ta có:

\(\frac{S{{G}_{1}}}{SE}=\frac{S{{G}_{2}}}{SF}=\frac{S{{G}_{3}}}{SG}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}//EF;\,\,{{G}_{2}}{{G}_{3}}//FG\Rightarrow \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)//\left( EFG \right)\)

Hay \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)//\left( ABC \right)\)

Qua \({{G}_{1}}\) kẻ MN // AB \(\left( M\in SA;N\in SB \right)\)

Qua \({{G}_{3}}\) kẻ \(MQ//AD\,\,\left( Q\in SD \right)\)

Qua N kẻ \(NP//BC\,\,\left( N\in SC \right)\)

\(\Rightarrow \) Thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) là \(\left( MNPQ \right)\)  chia khối chóp thành hai phần : \(S.MNPQ\) và \(MNPQ.ABCD\)

Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{SP}{SC}=\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{3}\)

Ta có \(\frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{S.MNP}}=\frac{8}{27}{{V}_{S.ABC}}\)

         \(\frac{{{V}_{S.MPQ}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SP}{SC}.\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{S.MPQ}}=\frac{8}{27}{{V}_{S.ACD}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{V}_{S.MNPQ}}={{V}_{S.MNP}}+{{V}_{S.MPQ}}=\frac{8}{27}\left( {{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \right)=\frac{8}{27}{{V}_{S.ABCD}} \\ & \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{8}{27}{{V}_{S.ABCD}};\,\,{{V}_{2}}=\frac{19}{27}{{V}_{S.ABCD}} \\& \Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{8}{19} \\\end{align}\)

Chọn C.