Phương pháp giải:

Tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện sẽ nằm trên các mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt kề nhau của tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

\(A\left( {8;0;0} \right),\,\,B \equiv O(0;0;0),\,\,\,C\left( {0;6;0} \right),\,\,S\left( {8;0;6} \right)\)

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp (thuộc không gian bên trong của hình chóp).

+) Phương trình các mặt bên của hình chóp:

(SAB) trùng (xOz) \( \Rightarrow (SAB):\,\,y = 0\)

\(\overrightarrow {SA}  = \left( {0;0; - 6} \right),\,\,\,\overrightarrow {SB}  = \left( { - 8;0; - 6} \right),\,\,\overrightarrow {SC}  = \left( { - 8;6; - 6} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {36;0; - 48} \right),\,\,\left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {36;48;0} \right)\)

\((SBC)\) có 1 VTPT là \(\left( {3;0; - 4} \right)\), \((SAC)\) có 1 VTPT là \((3;4;0)\).

Phương trình mặt phẳng \((SBC)\): \(3\left( {x - 8} \right) + 0 - 4(z - 6) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4z = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((SAC)\): \(3\left( {x - 8} \right) + 4(y - 0) + 0 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 24 = 0\) 

+) Viết phương trình mặt phẳng (SBI):

Phương trình các mặt phẳng phân giác của mặt \((SBC)\)và \(\left( {SAB} \right)\)là:

\(\frac{{\left| y \right|}}{1} = \frac{{\left| {3x - 4z} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5y = 3x - 4z\\5y =  - 3x + 4z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 5y - 4z = 0\,\,\left( {{\alpha _1}} \right)\\3x + 5y - 4z = 0\,\,\left( {{\alpha _2}} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\left( {3.8 - 5.0 - 4.0} \right)\left( {3.0 - 5.6 - 4.0} \right) < 0 \Rightarrow A,\,\,C\) nằm khác phía so với \(\left( {{\alpha _1}} \right) \Rightarrow \left( {{\alpha _1}} \right) \equiv (SBI)\) 

\( \Rightarrow (SBI):\,\,3x - 5y - 4z = 0\,\)

+) Viết phương trình mặt phẳng (SAI):

Phương trình các mặt phẳng phân giác của mặt \((SAC)\)và \(\left( {SAB} \right)\)là:

\(\frac{{\left| y \right|}}{1} = \frac{{\left| {3x + 4y - 24} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5y = 3x + 4y - 24\\5y =  - 3x - 4y + 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - y - 24 = 0\,\,\left( {{\beta _1}} \right)\\x + 3y - 8 = 0\,\,\left( {{\beta _2}} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\left( {3.0 - 0 - 24} \right)\left( {3.0 - 6 - 24} \right) > 0 \Rightarrow B,\,\,C\) nằm cùng phía so với \(\left( {{\beta _1}} \right)\)

\( \Rightarrow (SAI) \equiv \left( {{\beta _2}} \right):\,\,x + 3y - 8 = 0\,\)

+) Viết phương trình mặt phẳng (IAB):

Ta có: \((SAB):\,\,y = 0,\,\,\,(ABC):\,\,z = 0 \Rightarrow \) \((IAB)\) là mặt phẳng qua B(0;0;0) và có 1 VTPT là (0; 1; -1)

\( \Rightarrow (IAB):y - z = 0\)

+) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y - 4z = 0\,\\x + 3y - 8 = 0\,\\y - z = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \frac{4}{3}\\z = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I(4;\frac{4}{3};\frac{4}{3})\)

Bán kính mặt cầu : \(R = d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{4}{3}\)

Chọn: D