Phương pháp giải:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều \( \Rightarrow SO \bot (ACBD)\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {SB;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB;OB}} \right) = \widehat {SBO} = {45^0} = \widehat {SDO}\)

\( \Rightarrow \Delta SBD\)vuông cân tại S

\( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  \(\Delta SBD\)

\( \Rightarrow OS = OB = OD\)

Mà \(OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bán kính mặt cầu: \(R = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a\) (do ABCD là hình vuông có cạnh bằng \(\sqrt 2 a\)).

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2}\)

Chọn: B